连续性

连续性是“一笔画出曲线、笔不离纸”的数学版本:邻近的输入映到邻近的输出,没有突然的跳跃、缺口或孔洞。图像是流畅的,你可以不间断地穿过该点把它描出来。

形式上,f 在其定义域中的点 a 处连续,是指 lim_{x->a} f(x) = f(a)。展开这条极限即:对每个 ε > 0,都存在 δ > 0,使得只要 |x - a| < δ 且 x 在定义域内,就有 |f(x) - f(a)| < ε。与单纯的极限定义相比,这里去掉了严格的 0 < |x - a|,并要求极限值恰等于 f(a)——因此连续性同时要求三件事:f(a) 有定义、极限存在、且二者相等。

在定义域的孤立点处,连续性自动成立且无须检验(任何函数在那里都连续);在聚点处,它恰好退化为极限条件。微积分里熟悉的函数——多项式、指数、正弦,以及它们在各自定义域上的和、积、商与复合——全都是连续的,正因如此,我们往往要到连续性失效时才注意到这个条件。