连续性的序列判别法

检验一个函数是否从不跳跃,有两条路。一条用 ε 和 δ,另一条用序列。序列判别法说:函数在某点连续,当且仅当它把每个收敛到该点的序列,送到一个收敛到该点函数值的序列上。连续性恰恰就是对收敛的保持。

确切地说,f 在 a 处连续,当且仅当对定义域中每个满足 x_n -> a 的序列 (x_n),都有 f(x_n) -> f(a)。注意这里与函数极限不同:允许 x_n 等于 a,连续性并不把该点本身排除在外。

这条判别法是证明间断的利器:要证 f 在 a 处不连续,只需举出一个 x_n -> a 而 f(x_n) 不收敛到 f(a) 的序列即可。它还能干净利落地把序列的极限运算律搬到函数上,并通向度量空间中更一般的“序列连续性”,在那里它与通常的连续性一致。