可微蕴含连续

如果一个图像光滑到在某点有确定的斜率，那它在该处当然不可能有洞或跳跃——你无法把直尺斜靠在一道缝隙上。拥有导数是一个很强的条件，它免费奉送给你的第一样东西，就是该点处的连续性。

定理：若 f 在 a 处可微，则 f 在 a 处连续。证明是极限乘积的一行话。对靠近 a 但不等于 a 的 x，写 f(x) - f(a) = ((f(x) - f(a)) / (x - a)) * (x - a)。当 x -> a 时，第一个因子趋于 f'(a)（由可微性知为有限数），第二个因子趋于 0，故乘积趋于 0。于是 f(x) -> f(a)，这正是 a 处的连续性。

这个蕴含只朝一个方向成立；它的逆命题为假。连续并不蕴含可微：f(x) = |x| 在 0 处连续却在该处无导数，更糟的例子（处处连续、处处不可微）也存在。所以可微是连续的充分条件，但远非必要条件，二者绝不可混为一谈。