处处不可微函数

微积分的直觉暗示连续曲线“大体上是光滑的”——它或许有几个尖角，但总该几乎处处有切线。1872 年，魏尔斯特拉斯用一个处处连续、却在任何一点都没有切线的函数打碎了这幅图景。它的图像皱褶之甚，任你如何放大，都永不变直。

经典构造是一个级数：W(x) = sum_{n>=0} a^n cos(b^n pi x)，其中 0 < a < 1，b 为奇整数，且乘积 a b > 1 + 3 pi / 2。由于 |a^n cos(b^n pi x)| <= a^n 且 sum a^n 收敛，魏尔斯特拉斯 M 判别法使该级数一致收敛，故由一致极限定理，W 处处连续。但高频项 b^n pi x 振荡得如此猛烈，以致差商在每一个 x 处都不收敛，于是 W 处处不可微。

这是本领域的招牌警世故事：连续不蕴含可微，哪怕在一点也不蕴含，尽管可微确实蕴含连续。它还表明一致收敛保持连续性，却不保持可微性——每个部分和都是光滑的三角多项式，而其一致极限竟处处没有导数。这类函数并非罕见的奇珍：在精确的拓扑意义下，“绝大多数”连续函数都是处处不可微的。