病态例子

病态例子是数学上等价于碰撞测试假人的东西：一个故意造得古怪的对象，用来撞向你的直觉，揭示它在哪里被撞瘪。它的行为如此违背天真的预期，以致逼你说清自己暗中究竟假设了什么。

形式地说，病态例子是一种构造，它符合某定义的字面，却公然违背通常伴随该定义的心理图景。著名的标本包括处处连续却处处不可微的函数（魏尔斯特拉斯）、填满一个正方形的曲线（皮亚诺），以及在每个有理点不连续、在每个无理点连续的函数。每一个都完全合法；过于乐观的只是我们的直觉。

病态并非为新奇而新奇——它们做着不可或缺的工作。它们通过表明一条定理究竟不能舍去哪些条件来磨利假设，并揭露随意推理中暗藏的假定。需诚实地看待：这一代人称为病态的，下一代人往往称为典型。处处连续却处处不可微的函数在 1872 年显得骇人；而在现代概率论中，一条“随机”的连续路径以概率一处处不可微。