勒贝格积分

想象清点一堆硬币的钱数。黎曼的方法是沿桌面从左到右走,把遇到的逐片相加,这是沿着输入分片。勒贝格的方法则先按面值把硬币分类——所有一分的放一起,所有一角的放一起——再用面值乘以数量相加。勒贝格积分切分的是函数的值域(输出值),而不是定义域,并用函数取该值之集合的测度来加权每个值。

具体地说,对测度空间上的非负可测函数 f,先用简单函数(可测集指示函数的有限组合)从下方逼近 f,把这些简单函数按值乘测度精确地积分,再取上确界。对一般的实值或复值 f,则拆成正部与负部(或实部与虚部)分别处理再合并,前提是各部分的积分有限。结果记作 f 关于 μ 在全空间或某可测集上的积分。

由于它度量的是集合,而不依赖区间的几何,勒贝格积分能处理极不连续的函数,在温和假设下可与极限交换,并适用于抽象空间。它是 L^p 空间、概率论以及大部分现代分析的基础。诚实的提醒:它并不会神奇地让每个函数都可积——只条件收敛的反常黎曼积分,如 (sin x)/x 在正实轴上的积分,并非勒贝格可积,因为其绝对值的积分为无穷。