可测函数

可测函数是与测量机制相容的函数：每当你问“哪些输入使输出落在这块区域里？”，答案总是一个你被允许测量的集合。换言之，该函数绝不会把一个好的目标集拉回成一团不可测的乱麻。正是这种相容性，恰是积分这个函数所需的条件。

形式地说，设 (X, A) 与 (Y, B) 为可测空间。函数 f 从 X 到 Y 称为可测，若 B 中每个集合的原像都落在 A 中：对一切 B 属于 B，f 的逆像 f-inverse(B) 属于 A。对实值函数，取 B 为博雷尔西格玛代数，一个便捷的等价检验是：{x : f(x) 大于 a} 对每个实数 a 都可测。R 上的连续函数自动是博雷尔可测的。

可测性远比连续性弱——剧烈不连续的函数仍可能可测——但它在分析运算下稳健：可测函数的和、积、上确界、下确界、上极限、下极限以及逐点极限仍是可测的。这种对逐点极限的封闭性（连续性恰恰严重欠缺），正是可测函数成为积分与极限定理之恰当类别的原因。