特征函数

集合的特征函数是对“是否属于”这一关系最简单的描述：它对“你在集合里吗？”以 1 答“是”、以 0 答“否”。它把一个集合变成一个函数——一个恰在集合之上开启、在其余各处关闭的开关。它是用以构建简单函数、并经由简单函数构建勒贝格积分的原子。

形式地说，对空间 X 的子集 E，特征函数 1_E（也写作 chi_E）定义为：若 x 属于 E 则 1_E(x) = 1，若 x 不属于 E 则 1_E(x) = 0。函数 1_E 可测当且仅当 E 是可测集；此时它是简单函数的基本例子。它在 X 上的勒贝格积分等于 mu(E)：对示性函数积分恰好还原该集合的测度。

特征函数把集合运算翻译为算术，这正是它如此便利的原因：交的示性函数等于诸示性函数之积，补的示性函数等于 1 减去示性函数，而对互不相交的集合，并的示性函数等于和。一点术语上的提醒：在概率论及某些领域，“特征函数”一词指分布的傅里叶变换——一个完全不同的对象。在测度论中，它始终指示性函数。