简单函数的积分

简单函数只取有限多个值,每个值各占一个可测集——可以想象成一座阶梯,但每级台阶可以铺在任意古怪的地块上,而不只是区间。对它积分是最自然不过的事:对每个值,把该值乘以它所覆盖的地块面积(集合的测度),再相加。这积分实际上就是值的加权和,而权就是测度。

确切地说,若一个非负简单函数写成标准形式,即 c_k 乘以可测集 A_k 的指示函数之和,其中 c_k 为不同的取值、A_k 互不相交,则其积分为 c_k 乘以 μ(A_k) 之和。需要验证它是良定义的:用指示函数组合的任何其他表示都给出同一个数,故定义不依赖于书写方式。这里约定 0 乘以无穷为 0。

这是整个勒贝格积分由之生长的种子:每个非负可测函数都是低于它的简单函数的上确界,而这种函数的积分就是这些简单函数积分的上确界。所以把这一基础情形做对——并证明它具有可加性与单调性——就完成了早期的大部分工作。