测度

测度是一种为集合精确指派“大小”——长度、面积、体积、概率——的方法，并且这种指派要符合大小本应有的性质。若把一块区域切成互不重叠的若干片，这些片的大小之和应当等于整体的大小。测度正是完成这件事的数学机器，而关键在于，它对无穷多片也照样成立。

形式地说，固定一个集合 X 与 X 的子集构成的一个西格玛代数 A（即“可测”集族）。测度是从 A 到扩充非负实数 [0, +无穷] 的一个函数 mu，满足 mu(空集) = 0，且具有可数可加性：对任意一列两两不相交的集合 A_1, A_2, ...（均属于 A），有 mu(诸 A_n 之并) = sum mu(A_n)。三元组 (X, A, mu) 称为测度空间。

可数可加性是问题的核心，正是它使测度论比朴素的面积概念更为强大。它严格强于有限可加性：确实存在有限可加但非可数可加的集函数，但它们太弱，无法支撑一套良好的积分理论。还须注意，测度允许取值 +无穷（整条实直线在勒贝格测度下即如此），且两个不同的可测集可以有相同的测度。