勒贝格测度

勒贝格测度是对直线上长度、平面上面积、空间中体积的严格而通用的推广。在初等概念有意义之处它与之一致——[a, b] 的测度即 b 减 a——但它把这些概念延拓到一大批没有明显长度的复杂集合上，并且当你把集合平移时其值始终不变。

在实直线上，勒贝格测度 m 是定义在勒贝格西格玛代数上的唯一测度，它把每个区间映为其通常长度，且具平移不变性：对每个可测集 E 与每个实数 x，有 m(E + x) = m(E)。它由勒贝格外测度限制到满足卡拉西奥多里准则的集合上而构成。在 R^n 中同样的构造给出 n 维体积，依旧平移不变，且在长方体上与初等体积一致。

勒贝格测度是绘制勒贝格积分的画布，也是使“几乎处处”一语精确化的依据。两点须坦言：它并非在 R 的每个子集上都有定义（存在不可测集）；而且在 R 的一切子集上都没有任何平移不变测度能把区间映为长度 b 减 a——维塔利构造表明此事不可能，这恰是为何必须引入西格玛代数。