勒贝格外测度

勒贝格外测度是一份具体的配方，用以求覆盖一个集合（从外部）所需开区间总长度的最小值。你尝试用一个可数区间族给集合“盖被子”的每一种方式，把每床被子里各区间的长度相加，再对所有被子取下确界。这个下确界便是该集合的外测度。

确切地说，对 R 的子集 E，勒贝格外测度为 m-star(E) = inf 关于 n 求和的 length(I_n)，其中下确界对所有满足其并包含 E 的可数开区间族 I_1, I_2, ... 取。此 m-star 对 R 的每个子集无一例外地有定义，单调，且可数次可加——也就是说，它是抽象意义下一个真正的外测度。

由这一个公式，勒贝格测度的整座大厦随之建立。把卡拉西奥多里准则施于 m-star 便产生勒贝格可测集，而 m-star 限制在它们上是可数可加的：这就是勒贝格测度。须坦言的微妙之处是：m-star 单独在任意集合上只是次可加；唯有限制到可测集后，才恢复完全的可加性。