不可测集

不可测集是直线上一种表现极坏的子集，坏到无法对它指派任何一致的长度。任何想给它一个既尊重平移不变性又尊重可加性的勒贝格测度的尝试，都会导致矛盾。这类集合说明了为何不能简单地测量 R 的每个子集，以及为何西格玛代数无可回避。

确切地说，不可测集是 R 的一个子集，它不属于勒贝格西格玛代数：勒贝格测度在其上无定义。这类集合的存在是一条定理，但其构造本质上依赖选择公理；没有任何不可测集能由显式公式或构造性步骤给出。经典的见证是维塔利集。

更深的教训是一条否定性结果：不存在定义在 R 一切子集上、把每个区间映为其长度的平移不变测度。维塔利的论证使平移不变性与可数可加性相互冲突而生矛盾。须坦言的集合论附注是：在不含选择公理的数学模型中（索洛维模型），“R 的每个子集都勒贝格可测”是协调的，故不可测性是选择公理的后果，而非铁定的事实。