维塔利集

维塔利集是无法被测量之集的最初、最经典的例子。它由一次决定性地使用选择公理而构造：把 [0, 1] 中的点按“仅相差一个有理数”归入各家族，再从每个家族中恰好选一个代表。所得之集如此不规则，以致给它指派任何长度都将陷入矛盾。

其精确构造如下。规定两个实数等价，若其差为有理数；这是一个等价关系，把 [0, 1] 划分为不可数多个等价类。由选择公理，从每类中各取一个代表，构成集合 V。再考虑可数多个平移 V + q，其中 q 为 [-1, 1] 中的有理数；这些平移两两不相交，其并包含 [0, 1] 而又落在 [-1, 2] 之内。

若 V 可测且测度为 m(V)，则由平移不变性，每个平移都有相同测度 m(V)，而可数可加性给出总测度等于可数多个 m(V) 之和。该和在 m(V) = 0 时为 0，在 m(V) 为正时为 +无穷——但它又必须介于 1 与 3 之间，即 [0, 1] 与 [-1, 2] 的测度。两种情形皆不可能，故 V 不可测。此论证是平移不变性与可数可加性之间一场干净利落的冲突。