等价关系

等价关系是一种把集合中某些元素宣布为“就当前目的而言相同”的方式，其行为如同真正的相等。它是满足三条公理的关系 ~：自反性（每个 x ~ x）、对称性（若 x ~ y 则 y ~ x）以及传递性（若 x ~ y 且 y ~ z 则 x ~ z）。日常的相同——同一天生日、同一个国家——恰好服从这三条规则。

其收益在于划分。集合 A 上的一个等价关系把 A 切成互不相交、非空的等价类，其中 x 的类是所有与 x 等价的元素之集。每个元素恰落在一个类中，而两元素等价当且仅当它们同属一个类。划分与等价关系是同一结构的两个视角——给定其一，便可重建另一个。

这是通过“粘合”构造新对象的标准机制。有理数是整数对的等价类，当 ad = bc 时 (a, b) ~ (c, d)；实数可构造为有理柯西序列的等价类（两序列等价当其差趋于 0）；模 n 的剩余类是整数的等价类。每当你“在某种等同意义下”定义某物时，背后总有一个等价关系在悄然运作。