函数（映射）

从集合 A（定义域）到集合 B（陪域）的函数 f，记作 f : A → B，是一条规则，它给 A 的每个元素 x 指派 B 中恰好一个元素 f(x)。把它想成一台机器：从定义域喂入任意 x，便输出唯一确定的一个值。两条定义性要求是：完全性（每个输入都有输出）与单值性（没有输入得到两个不同的输出）。

一个微妙却重要的要点是：函数不仅仅是一个公式——它是公式连同它的定义域与陪域。同一规则 x ↦ x^2 在 R 上与在 [0, ∞) 上给出确实不同的函数，因为改变定义域就改变了哪些输入存在，改变陪域就改变了函数能否为满射。值域（或像）是实际取到的值之集，{f(x) : x ∈ A}，它可以是陪域的真子集。

函数是分析的中心对象：极限、连续、微分与积分都是函数的性质。形式上可把函数定义为一类特殊的有序对之集——一种关系，其中每个定义域元素恰作为第一坐标出现一次——这就把直观的“机器”图景奠基于纯集合论。并非每条规则都定义一个函数：x ↦ ±√x 不是单值的，故不是函数（除非选定一支）。