可数可加性

可数可加性是测度的定义性承诺：若把一个集合拆成可数多个互不重叠的片，则各片的大小恰好相加为整体的大小——而且这对一列无穷多片成立，不止对有限多片。正是这条性质让测度论得以与极限相交换。

形式地说，定义在西格玛代数上的集函数 mu 称为可数可加（或西格玛可加），若对每一列两两不相交的可测集 A_1, A_2, A_3, ...，有 mu(诸 A_n 之并) = sum 关于 n 的 mu(A_n)。该和可为有限数或 +无穷；无论哪种，等式都须严格成立。有限可加性是其中除有限多个 A_n 外其余皆为空集的特例。

从有限可加到可数可加这一步，正是初等几何与分析之间的全部差别。它确实是更强的条件：存在有限可加但非可数可加的集函数，它们无法支撑一套良好的积分理论。对一个有限可加测度而言，可数可加性等价于自下连续性——即 mu(一列递增集之并) 等于诸 mu 值之极限——而正是这种连续性被各大收敛定理所利用。