测度的单调性

测度的单调性是一条听来显然却至关重要的法则：较小的集合不可能有更大的大小。若一个集合含于另一个之内，则内者的测度至多等于外者的测度。它是整套理论保序的脊梁，使用得如此频繁，以至于很少被明说出来。

形式地说，若 mu 是测度，A 是 B 的子集且二者皆可测，则 mu(A) 至多为 mu(B)。证明只需一行：把 B 写成 A 与 B 减 A 的不相交并，对其用可加性得 mu(B) = mu(A) + mu(B 减 A)，再注意 mu(B 减 A) 非负即可。同样一行的论证适用于任何非负可加集函数，包括外测度。

单调性使你能够把一个复杂集合的测度夹在你所理解的集合之间来加以估界，它也是贯穿积分的夹挤式估计的基础。一点值得指出的注意事项：仅当 A 含于 B 时才有 mu(B) = mu(A) + mu(B 减 A)；对一般相互重叠的集合，正确的工具是次可加性 mu(A 并 B) 至多 mu(A) + mu(B)，而非等式。