子集

集合 A 是集合 B 的子集，记作 A ⊆ B，当 A 的每个元素也是 B 的元素时成立。把 B 想成一片区域，A 是完全坐落其内的较小区域。关键在于二者可以重合：每个集合都是它自身的子集，而空集是任何东西的子集（这是空虚成立的，因为它没有任何元素能不在 B 中）。

写成蕴含，A ⊆ B 意为“对所有 x，若 x ∈ A 则 x ∈ B”。这正是证明子集关系的标准套路的来由：取任意 x ∈ A，证 x ∈ B。它也给出集合相等的通用方法：A = B 当且仅当 A ⊆ B 与 B ⊆ A 同时成立，即著名的双向包含论证。

当 A ⊆ B 但 A ≠ B 时，称 A 为真子集，有时记作 A ⊊ B。关于记号的一句提醒：有些作者用 ⊂ 表示真子集，另一些则宽松地用它表示 ⊆，故须留意各书的约定。B 的全体子集所成的族本身是一个集合，即幂集，它总是严格大于 B——这一事实最终衍生出一条无尽的无穷阶梯。