蕴含

蕴含是形如“如果 P，那么 Q”的陈述，其中 P 是前提（假设），Q 是结论。它的承诺很窄：只断言每当 P 成立时 Q 也成立，而对 P 不成立时会发生什么只字不提。一个有用的形象是承诺——“如果下雨，我就带伞”只有在下雨的某天你忘了带伞时才算违背；晴天里无论你怎么做，承诺都依然成立。

真值表把这一点说得精确：“P 蕴含 Q”仅在一种情形下为假，即 P 真而 Q 假；在其余三种情形下都为真。特别地，若 P 为假，则蕴含自动为真——这称为空虚地为真。初学者常对此抵触，但这正是我们所需要的：定理“如果 x > 2 那么 x > 1”必须对每个实数 x 都成立，包括前提不成立的 x = 0。

分析中几乎每条定理都是蕴含，而证明“P 蕴含 Q”的标准方法是假设 P 并推出 Q。现在值得区分两个亲戚：逆命题“如果 Q 那么 P”（一个逻辑上不同的陈述）与逆否命题“如果非 Q 那么非 P”（逻辑上等价，且往往更易证明）。把蕴含与其逆命题混为一谈，是最常见的推理错误之一。