非负函数的积分

一旦能对阶梯状的简单函数积分,我们就用这种阶梯从下方逼近任意非负可测函数,并问积分最大能做到多少。答案——所有保持在下方的简单函数积分的上确界——被规定为该函数的积分。这是自然的从下往上填充的构造:用尽可能好的简单形状把图像下方的区域填满。

形式上,对可测的 f 大于等于 0,f 关于 μ 的积分定义为满足 0 小于等于 s 小于等于 f 的一切简单函数 s 的积分的上确界。这个上确界在广义意义下总存在,故取值落在 [0, 无穷],可能为正无穷。此阶段不要求有限性——非负函数总有良定义(可能为无穷)的积分。

这一定义是单调的(函数越大,积分越大或相等),而且关键在于,它正是使单调收敛定理成立的设置:一列递增的非负函数在取极限时可逐项积分。有限与否则是可积性这个另外的问题,需通过要求绝对值的积分有限来处理。