单调收敛定理

若你往浴缸里不断加水而从不放水,最终水位不过是上升水位的极限——毫无意外。单调收敛定理对积分说的是同样的话:若非负函数只升不降地趋于某极限,则极限的积分等于积分的极限。递增且非负是代价;作为交换,极限可径直穿过积分号。

确切地说:设 f_1 小于等于 f_2 小于等于 ... 为可测函数,每个 f_n 大于等于 0,并(几乎处处)逐点收敛到 f。则 f 的积分等于 n 趋于无穷时 f_n 积分的极限。两边都可能为正无穷,而定理依然成立;不假设控制函数,也不假设有限性。

关于假设有两个真切的告诫。没有非负性它会失效;没有单调递增它会戏剧性地失效——移动凸包的例子,f_n 取 [n, n+1] 的指示函数,每个积分都等于 1,却逐点收敛到 0,而 0 的积分为 0。本定理是法图引理及积分定义本身背后的主力。