几乎处处收敛

在勒贝格理论中,只要坏点构成的集合测度为零,少数坏点便无关紧要。几乎处处收敛放宽了普通的逐点收敛,宽恕在这样一个可忽略集合上的失败:序列在除去一个甚至无法赋予任何正测度的集合之外的每一点都收敛。由于积分对零测集视而不见,这正是喂给积分的自然收敛概念。

确切地说,函数列 f_n 几乎处处(a.e.)收敛到 f,若存在集合 N 满足 μ(N) = 0,使得对 N 之外的每个 x 都有 f_n(x) 收敛到 f(x)。单调收敛定理、法图引理与控制收敛定理中的假设都以几乎处处收敛陈述,正因为积分会忽略 N 上发生的事。

要当心几乎处处收敛能给与不能给什么。它并不蕴含 L^1 中的收敛(高尖峰几乎处处收敛到 0,而其积分保持为 1),一般地在任意空间上也不蕴含依测度收敛,且极限 f 只在相差一个零测集的意义下确定。反过来,依测度收敛并不蕴含几乎处处收敛,尽管它能迫使存在一个确实几乎处处收敛的子列。