依测度收敛

依测度收敛提出的问题比逐点收敛更宽松。它不要求 f_n(x) 在每点最终落在 f(x) 附近，而只要求 f_n 明显远离 f 的那块区域不断缩小——就测度所见的大小而言。每一阶段都可有少数点表现不佳，甚至这些不佳的点还能四处游移，只要「坏」区域的总测度趋于零即可。

形式上，在测度空间上，称 f_n 依测度收敛到 f，若对每个 epsilon > 0，集合 { x : |f_n(x) - f(x)| >= epsilon } 的测度当 n 趋于无穷时趋于 0。这弱于几乎处处收敛，却抓住了积分所关心的逼近之实质。它正是马尔可夫型估计所能控制的那种收敛方式。

它与其他收敛方式的关系值得记牢。L^p 收敛（对有限 p）依切比雪夫不等式蕴含依测度收敛。依测度收敛并不蕴含几乎处处收敛——但它总有一个几乎处处收敛的子序列（里斯定理）。经典的例证是「打字机序列」：[0, 1] 上不断缩小、依次推进的区间的示性函数；它依测度收敛到 0，却在任何单点都不收敛，因为那移动的隆起会无限多次重访每一点。