控制收敛定理

每当你想交换极限与积分时,这就是你要诉诸的定理。危险在于质量逃向无穷(回想法图的严格不等式)。良方是:把整个序列困在一把固定的可积大伞之下。若单个可积函数在绝对值上控制住所有这些函数,质量便无从泄漏,极限便能干净地穿入积分号。

陈述:设可测函数 f_n 几乎处处逐点收敛到 f,并设存在可积的 g 使得对所有 n 有 |f_n| 小于等于 g。则 f 可积,且 f 的积分等于 f_n 积分的极限。此外 |f_n - f| 的积分趋于 0,即在 L^1 中收敛,这比积分收敛还要更强。

控制函数 g 是关键;没有它结论会失效,正如高尖峰与移动凸包的例子所示。一个常见的精细化:被一列在 L^1 中收敛的 g_n 控制也足够(广义控制收敛定理)。本定理正是积分号下求导、交换求和与积分通常合法的原因——找到一个 g,就大功告成。