法图引理

法图引理是函数收敛但可能不规矩时你能得到的安全网:即使对序列毫无控制,在极限中面积也不能凭空产生,只可能流失。最终下包络的积分至多等于积分稳定下来的最小值。它是单边不等式,而这种单边性恰好正确——质量可以逃向无穷,却不能凭空出现。

陈述:对任意一列非负可测函数 f_n,f_n 的下极限的积分小于等于 f_n 积分的下极限。不要求单调性、控制函数或收敛性——只要非负。当 f_n 确实逐点收敛到 f 时,左边就是 f 的积分,从而 f 的积分小于等于积分的下极限。

不等式可以是严格的,而这正是要点所在。对移动凸包 f_n 取 [n, n+1] 的指示函数,下极限函数为 0(积分为 0),而每个积分为 1(下极限为 1):0 严格小于 1,质量已行进至无穷。法图引理是证明控制收敛定理所用的轻量工具。