下极限

下极限是上极限的镜像：序列的“最终低水位线”。它是各项无穷多次反复逼近的最小值——它们一再沉至（或趋向）的那道地板，无论它们可能反弹得多高。

如同上极限，有两个等价描述。其一，liminf a_n 是最小的子序列极限（允许 -无穷）。其二，便于计算：liminf a_n = lim_{n->inf} ( inf_{k >= n} a_k )。内层下确界 inf_{k >= n} a_k 是从索引 n 起尾部的最低值；随着尾部收缩这些下确界递增，其极限即下极限。

与上极限一样，下极限对每个序列都在扩充实数中存在，且总有 liminf a_n <= limsup a_n。二者相等于一个公共的有限值 L，恰好就是 a_n -> L 的条件。于是下极限与上极限把序列所有长程行为夹在一道有保证的地板与一道有保证的天花板之间。