上极限

当序列拒绝收敛时，它仍可能有一个明确定义的“最终高水位线”。上极限是序列无穷多次反复逼近的最大值——其各项一再升达（或趋向）的那道天花板，纵使它们不断回落。它对每个实序列都存在，而普通极限却未必。

有两个等价定义。其一，limsup a_n 是最大的子序列极限——作为某个子序列之极限可达到的最大值（允许 +无穷）。其二，也是计算时最有用的：limsup a_n = lim_{n->inf} ( sup_{k >= n} a_k )。内层上确界 sup_{k >= n} a_k 是从索引 n 起整个尾部的最高值；随着 n 增大尾部收缩，故这些上确界构成一个递减序列，其极限即上极限。

上极限在扩充实数 [-无穷, +无穷] 中总是存在的，这正是它如此好用的原因：每个序列都有一个。序列收敛到（有限的）L 当且仅当其上极限与下极限都等于 L。因此上极限与下极限合在一起钉定收敛，而当二者不一致时，恰好度量出序列离安顿下来还差多远。