子序列

子序列是你通过有选择地阅读一个序列而得到的东西——保留某些项，跳过另一些，但绝不倒退。想象快速翻阅一本厚书，只按顺序读第 1、4、5、9……章：你保持原有顺序，挑出无穷多项。

正式地说，给定序列 (a_n)，选取严格递增的索引 n_1 < n_2 < n_3 < ...；所得序列 (a_{n_k}) 即为子序列。严格递增的要求正是禁止重用或重排各项的所在，它迫使 n_k >= k，因此子序列在索引上总像其母序列一样奔向无穷。

子序列是使发散与极限行为聚焦的透镜。一个基本事实是：若 a_n -> L，则每个子序列也收敛到 L。其逆否命题是一个有力的发散判别法——若两个子序列趋于不同的极限，则原序列不可能收敛。作为子序列极限出现的值称为子序列极限，它们直接喂给上极限与下极限的概念。