扩充实数

扩充实数是在普通实数上再焊接两个新端点：最右端的正无穷和最左端的负无穷。添加这两个理想点，能让关于极限和界的陈述免去别扭的例外情形。

形式上，人们附加两个符号，正无穷与负无穷，规定负无穷小于每个实数，每个实数小于正无穷。许多算术法则自然地延拓，例如对有限的 x 有 x 加无穷等于无穷，正数乘无穷等于无穷。一大便利是：在这个系统中每个集合都有上确界与下确界，无上界的集合上确界为正无穷，空集的上确界为负无穷。

好处体现在极限语言上。在扩充实数中，发散到无穷的序列如今有了极限，即正无穷；任何序列的上极限与下极限在那里总是存在。测度论与积分学严重依赖这一约定，因为测度与积分常常被允许取正无穷。

代价是扩充实数不再是域，因为某些组合根本无定义。无穷减无穷以及零乘无穷没有一致的取值，必须当作未定式处理，这恰是洛必达法则要解决的情形。人们使用扩充实数是为了它的序结构与极限结构，而非为了无拘束的算术。