L1 函数

L^1 是所有绝对可积函数的集合,被打包成一个可以度量距离的单一空间。一个函数的大小是其绝对面积的总和,即 |f| 的积分,称为它的 L^1 范数。若两个函数几乎处处相等,就算作同一个点——我们把只在零测集上不同的函数粘为一体,因为积分无法把它们区分开。

形式上,固定一个测度空间;L^1(μ) 是使 |f| 关于 μ 的积分有限的可测函数 f 的(等价类的)集合,其范数等于该积分。几乎处处的等同至关重要:没有它,范数只会是半范数,因为一个几乎处处为零的非零函数会有零范数。有了这一等同,范数才是真正的范数,且 f 与 g 的距离为 |f - g| 的积分。

深刻的事实是 L^1 是完备的:在此范数下每个柯西序列都收敛到一个 L^1 函数。故 L^1 是巴拿赫空间——这就是 p = 1 时的里斯–费舍尔定理。在此范数下黎曼积分恰恰丧失了完备性,这也是勒贝格理论在分析中取代黎曼理论的主要结构性原因。