可积函数

对非负函数积分总能得到 [0, 无穷] 中的答案,但对于既高于又低于横轴的函数,我们想要一个有限的、带符号的数。干净的规则是:一个函数可积当且仅当其中没有隐藏的无穷抵消——即不计符号的总面积有限。只要求绝对值的积分有限,其余一切便自然就位。

确切地说,可测函数 f(实值或复值)称为勒贝格可积,若 |f| 关于 μ 的积分有限。此时把 f 写成正部 f-plus 减负部 f-minus,二者皆非负且积分有限,并定义 f 的积分为 f-plus 的积分减 f-minus 的积分。对复值 f,则分别对实部与虚部积分。这是相容的,并给出有限值。

请注意它与条件收敛级数及反常黎曼积分的不对称:勒贝格可积性是一个绝对的概念。不存在条件收敛积分的勒贝格类比;若 |f| 的积分为无穷,则 f 干脆不可积,纵使 (sin x)/x 的某种精细的黎曼式极限会收敛。其回报是稳健性:可积函数构成一个向量空间,并服从那些强有力的收敛定理。