里斯—费舍尔定理

里斯—费舍尔定理是 L^p 理论的结构基石：它确证 L^p 空间没有「漏洞」。一列函数若其相邻之差在 L^p 范数下趋于零——即柯西序列——则必收敛到一个确实存在、且自身仍属于 L^p 的极限函数。一言以蔽之，你可以在 L^p 内部取极限而不致掉出其外。

对 1 <= p <= 无穷 陈述如下：空间 L^p(X, mu) 是完备的，故每个 L^p 范数下的柯西序列都在该范数下收敛到 L^p 的某个元素。等价地，L^p 是巴拿赫空间。有限 p 的经典证明先抽取一个快速收敛的子序列，通过对绝对差求和（借单调收敛定理控制，使该和几乎处处有限）构造候选极限，再证整个序列都收敛于它。

历史上此名附于其傅里叶分析的化身：给定任一平方可和的「待定傅里叶系数」序列，存在一个 L^2 函数，对固定的正交系恰好具有这些系数。这使 L^2 成为傅里叶级数的正确归宿，也是勒贝格积分早期相对黎曼积分的决定性胜利——后者的函数空间在这些范数下并不完备。