Lᵖ 空间与积分理论
Lp 的完备性
完备性即「不缺失任何极限」的性质。若每个「本应」收敛的序列——因其各项最终彼此任意接近——都确实收敛到该空间中的某点，则称此空间完备。有理数通不过这一检验（pi 的截断会聚集，但其极限是无理数）；实数则通过。L^p 的完备性是说，对以 L^p 范数度量的整个函数，同样的良好行为依然成立。
具体而言：在 L^p(X, mu)（1 <= p <= 无穷）中，若序列 f_n 满足当 n, m -> 无穷 时 ||f_n - f_m||_p -> 0（即柯西序列），则存在 L^p 中的函数 f 使 ||f_n - f||_p -> 0。这正是里斯—费舍尔定理的内容，也正是它把仅为赋范空间的 L^p 升格为巴拿赫空间。当 p = 2 时，它使 L^2 成为希尔伯特空间。
其要害在于：完备性使分析得以借逼近与极限论证向前推进。你把解构造为一列逼近的极限，验证这些逼近构成柯西序列，完备性便免费奉上极限——并保证它是真正的 L^p 函数。不动点定理、微分与积分方程的存在性证明，以及傅里叶展开的收敛性，无不倚靠于它。
函数的截断把完备性展示为一种优点而非缺陷：在 [0, 1] 上令 g_n 在 x^(-1/4) 不超过 n 处与之相等，否则取值 n。每个 g_n 有界，故属于 L^2；它们在 L^2 中构成柯西序列并收敛到 x^(-1/4)，而后者属于 L^2——极限并未逃出该空间。
由良好函数构成的柯西序列可收敛到一个不那么良好、但仍属 L^p 的极限。
另见