Lp 空间

设想你想按函数携带的总「能量」而非其公式来给函数分类。把函数平方再求其下方面积，度量的是一种能量；取 p 次幂则度量了一整族能量。L^p 空间就是所有使得这个总量——即 |f|^p 的积分——为有限的函数的集合。p 次幂可积的函数是「温顺」的，这种温顺是普通的有界性所无法刻画的：一个函数即便在某点冲到无穷，只要那个尖峰足够「瘦」，它仍可属于 L^p。

固定一个测度空间 (X, M, mu) 与实数 p，满足 1 <= p < 无穷。空间 L^p(X, mu) 由所有使 |f|^p 在 X 上积分有限的可测函数 f 组成。为使范数行为正确，我们把几乎处处相等的两个函数视为同一——即只在一个零测集上有别——因此严格说来 L^p 的元素是函数的等价类，而非单个函数。配上 L^p 范数后，它成为一个赋范向量空间，事实上还是完备的（巴拿赫空间）。

两点提醒。第一，是否属于 L^p 取决于整个空间与测度，而非仅看局部行为：1/x 不属于 L^1(0, 无穷)，原因是它在无穷远处衰减太慢；而 1/sqrt(x) 虽在 0 处发散，却属于 L^1(0, 1)。第二，这些空间一般并非互相包含；在无穷测度空间上，函数可属于 L^2 而不属于 L^1，而在有限测度空间上包含关系反过来（p 越大空间越小）。