Lᵖ 空间与积分理论
L 无穷空间
L^infinity 是那些拥有真正天花板——几乎处处——的函数的归宿。它是 L^p 族在 p 趋于无穷时的极限情形，此时范数不再做平均，而是读出函数实际所能达到的最大值。一个函数恰当它除可能的一个零测集外保持低于某有限界时属于此处，而那个零测集理论会欣然忽略。
形式上，L^infinity(X, mu) 由所有使 |f| 的本性上确界有限的可测函数 f 组成，而 L^infinity 范数 ||f||_infinity 恰为该本性上确界。与其他 L^p 空间一样，其元素是关于几乎处处相等的等价类。该空间是巴拿赫空间——在其范数下完备——且当测度为 sigma 有限时，L^infinity 是 L^1 的对偶。
两点告诫。第一，「无穷」之名指的是指数，而非取值：L^infinity 函数是（本性）有界的，而非很大。第二，L^infinity 远不如有限 p 的空间友善：它一般不可分，且与有限 p 的 L^p 不同，在通常的对偶框架下它不是任何自然对象的对偶——L^infinity 的对偶严格大于 L^1。对有限测度空间，L^infinity 含于每个 L^p 之中。
在 (0, 1) 上，函数 f(x) = sin(1/x) 振荡次数无限，但取值有界：处处有 |f| <= 1，故 ||f||_infinity = 1。相比之下，g(x) = 1/x 不属于 (0, 1) 上的任何 L^infinity，因为它在 0 附近一个正测集上超过每一个有限界。
剧烈振荡无妨；唯有无界的幅值才会把函数排除出 L^infinity。
又称
另见