本性上确界

本性上确界就是那个客气地忽略掉零测意外的上确界。普通的上确界可能被单个失控的值毁掉：一个除某点处有高达一百万的尖峰外处处为 0 的函数，其上确界仍是一百万。但那单个点不带任何测度，就积分而言也无任何权重——故本性上确界把它丢弃，转而报告 0。它是「在测度所能看到的范围内」函数真正的天花板。

形式上，对可测函数 f，本性上确界是使 f(x) <= M 对几乎所有 x 成立的最小数 M——即所有这类几乎处处上界的下确界。等价地，它是使集合 {|f| > M}（或 {f > M}，视约定而定）测度为零的所有 M 的下确界。若无有限的 M 可行，则本性上确界为 +无穷。

这恰是 L^infinity 范数所需的正确概念，该范数即 |f| 的本性上确界。它也解释了为何 L^infinity 函数被称作「本性有界」：它们可在一个可忽略的集合上无界，却仍有有限的本性上确界。本性上确界可严格小于普通上确界，但绝不会更大。