本性有界

一个函数若停留在某条有限的带状区域内——除去可能的一个可丢弃的零测集(勒贝格理论会忽略它)——便称为本性有界。所以一个在单点取 1000000、其余处处至多为 3 的函数仍算作以 3 为本性界;那孤立的尖峰落在一个零测集上,对测度而言不可见。

确切地说,f 称为本性有界,若存在有限常数 M 使得对几乎每个 x 有 |f(x)| 小于等于 M。最小的这样的 M 即 |f| 的本性上确界,是宽恕零测集上的不规矩之后真正的上限。它可以严格小于普通的上确界,后者会被单个高点破坏。

本性有界函数恰为 L-无穷的元素,其范数等于本性上确界。这是勒贝格世界里有界性的恰当概念:它在零测集上改变函数时保持不变,符合 L^p 中一切只在相差几乎处处相等的意义下定义的规则。