Lᵖ 空间与积分理论
Lp 的对偶
一个空间的对偶是对其元素作线性「读数」的所有方式之集合——即把向量变成数的每一个连续线性泛函。对 L^p，惊人之处在于这些读数并不奇异：每一个不过是「与一个固定函数配对再积分」。于是 L^p 的对偶竟是另一个 L 空间，即 L^q，其中 q 为共轭指数。抽象的对偶被具体地与熟悉的函数等同起来。
确切地，对 1 <= p < 无穷 及 sigma 有限的测度，L^p 上每个有界线性泛函 T 都具有形式 T(f) = f 乘以 g 的积分，其中 g 是 L^q 中唯一的函数，1/p + 1/q = 1；并且 T 的算子范数等于 ||g||_q。这在对偶空间 (L^p)* 与 L^q 之间建立了一个等距同构。赫尔德不等式正是使每个这样的积分成为有界泛函的关键，而拉东—尼科迪姆定理则是产生表示函数 g 的引擎。
端点 p = 无穷 是著名的例外。L^1 的对偶是 L^infinity（对 sigma 有限测度），但 L^infinity 的对偶严格大于 L^1——它含有额外的「有限可加」泛函，是任何可积函数都无法表示的。因此干净的自反对称性 ((L^p)*)* = L^p 对 1 < p < 无穷 成立，却在 1 与无穷 这两个端点都失效。
取 p = 2（自对偶，q = 2）。泛函 T(f) = f(x) x dx 在 [0, 1] 上的积分在 L^2[0, 1] 上有界；其表示函数为 g(x) = x，算子范数等于 ||g||_2 = sqrt(1/3)。此处 T 恰是与 g 作内积，体现 L^2 是自身的对偶。
L^p 上每个有界泛函都是与一个固定的 L^q 函数作积分。
另见