拉东—尼科迪姆定理

拉东—尼科迪姆定理回答了一个貌似简单的问题：何时一个测度能表示为另一个测度「以某密度加权」？若测度 nu 从不在参照测度 mu 一无所见之处指派质量，则该定理许诺存在单个函数——一个密度——逐点告诉你每单位 mu 之物上坐落着多少 nu 之物。它是概率密度、变量替换与条件期望的严格基础。

确切地：设 mu 为 sigma 有限，nu 为关于 mu 绝对连续的 sigma 有限（或带符号）测度，即 nu << mu。则存在可测函数 f（当 nu 为测度时非负），使对每个可测集 E 有 nu(E) = f dmu 在 E 上的积分。此 f 在关于 mu 几乎处处相等的意义下唯一，称作拉东—尼科迪姆导数，记作 dnu/dmu。

前提至关紧要。绝对连续是必要的——点质量无法表为关于勒贝格测度的密度——而 sigma 有限性也不能径直舍去：相对于不可数集上的计数测度，一个勒贝格型的绝对连续测度未必有密度。当所有前提成立时，该导数在复合下表现得像普通导数：链式法则 d(lambda)/d(mu) = (d lambda/d nu)(d nu/d mu) 几乎处处成立。