带符号测度

普通测度给每个集合指派一个非负的「量」——大小、质量或概率。带符号测度放宽了非负性，允许该量为负。设想电荷的分布：某些区域带正电，另一些带负电，而一个区域的「测度」即其净电荷，可正可负。这是描述测度之差的自然对象。

形式上，sigma 代数上的带符号测度是一个集函数 nu，它可数可加——不交并的 nu 等于各 nu 之和——并取值于广义实数，且约定 +无穷 与 -无穷 至多允许其一为取值（以避开无定义的「无穷减无穷」）。空集的测度为 0。每个带符号测度都可写为两个支撑不交的普通（非负）测度之差 nu = nu+ 减 nu-；这是若尔当分解，其底层对空间的划分是哈恩分解。

全变差 |nu| = nu+ 加 nu- 是一个真正的非负测度，记录不计抵消的「毛」总量。带符号测度的一大来源是积分：若 g 关于测度 mu 可积，则 nu(E) = g 在 E 上的积分定义出一个带符号测度；而拉东—尼科迪姆定理反过来说，每个关于 mu 绝对连续的带符号测度都以此方式产生。