绝对连续测度

一个测度关于另一个测度绝对连续，是指它们对「何为可忽略」达成一致：凡参照测度认为大小为零的集合，第一个测度也认为其大小为零。直观地说，新测度没有任何质量藏在旧测度看不见的集合上；它被参照测度「带着走」，绝不在参照测度为暗处的地方点亮。

形式上，对同一 sigma 代数上的测度 nu 与 mu，称 nu 关于 mu 绝对连续——记作 nu << mu——若对每个可测集 E，mu(E) = 0 蕴含 nu(E) = 0。对有限的 nu，有一个等价的 epsilon–delta 形式可解释此名：对每个 epsilon > 0 存在 delta > 0，使 mu(E) < delta 强制 |nu(E)| < epsilon。这与函数的绝对连续相呼应——小的总长度强制小的总变差。

其相反极端是互相奇异，即两个测度活在不交的集合上。勒贝格分解定理说，任何 sigma 有限的 nu 都唯一地分裂为关于 mu 的绝对连续部分加奇异部分。绝对连续部分正是拉东—尼科迪姆定理表示为某密度之积分的那一块。一个经典的反例：在点 0 处置质量 1 的测度关于勒贝格测度并不绝对连续，因为 {0} 的勒贝格测度为 0，却带有点质量 1。