赫尔德不等式

赫尔德不等式是估计两个函数乘积之积分的主力工具。直观地说：若一个因子只许在另一个因子小处变大，则它们的乘积就累积不出太多面积。该不等式用互补的范数来度量两个因子，从而把这种权衡精确化——一个用 L^p，另一个用 L^q，其中 p 与 q 是使两端平衡的共轭指数。

确切地，设 p 与 q 满足 1/p + 1/q = 1 且 1 <= p, q <= 无穷（含 p = 1、q = 无穷的情形）。对可测的 f 与 g，|f g| 的积分至多为 ||f||_p 乘以 ||g||_q。特别地，若 f 属于 L^p 且 g 属于 L^q，则 f g 可积。其证明依赖于乘积的杨氏不等式 ab <= a^p/p + b^q/q，将范数标准化为 1 后逐点应用之。

等号当且仅当 |f|^p 与 |g|^q 几乎处处成比例（其中之一可为零）时成立——即两个因子完全「对齐」之时。p = q = 2 的情形回到柯西—施瓦茨不等式。赫尔德不等式还表明 L^q 空间充当 L^p 上的有界线性泛函，支撑起对偶理论。