Lᵖ 空间与积分理论
柯西—施瓦茨不等式
柯西—施瓦茨不等式断言两个向量的内积不超过它们长度之积。在熟悉的几何中，这等同于说它们夹角的余弦介于 -1 与 1 之间：点积等于 |u| |v| cos(theta)，而余弦的绝对值绝不超过一。提升到函数上，「点积」变为 f 与 g 之积的积分，「长度」则变为 L^2 范数。
在 L^2 框架下：对平方可积的 f 与 g，f 与 g 之共轭的乘积的积分的绝对值，至多为 ||f||_2 乘以 ||g||_2。这恰是赫尔德不等式在自共轭指数 p = q = 2 处的情形。更抽象地，在任何内积空间中不等式 |<u, v>| <= ||u|| ||v|| 都成立，它正是保证内积范数满足三角不等式的依据。
等号当且仅当 f 与 g 线性相关时成立——即其中一个几乎处处是另一个的标量倍（允许为零）。该不等式是贝塞尔不等式、希尔伯特空间中夹角定义以及无数估计背后的主力；每当你必须紧紧地估计单个乘积积分而无余地可让时，柯西—施瓦茨通常是首先要尝试的。
对序列（即 l^2 情形）：|a1 b1 + a2 b2 + ...| <= sqrt(sum a_n^2) 乘以 sqrt(sum b_n^2)。取 a = (1, 1, 0, ...)、b = (1, -1, 0, ...)：左边为 |1 - 1| = 0，右边为 sqrt(2) 乘以 sqrt(2) = 2。此处差距最大，因为 a 与 b 正交。
正交向量的内积为零——这是该界的极端情形。
又称
另见