贝塞尔不等式

设想你把一个向量投影到坐标系的某些轴上。它投下的影子绝不会比向量本身更长——你只能捕获其长度的一部分。贝塞尔不等式正是这一显然的几何事实，对函数和任意标准正交族而言：储存在系数中的总能量不会超过函数的能量。

设 (e_n) 是内积空间中的标准正交系，c_n = f 与 e_n 的内积 为广义傅里叶系数。则 求和 |c_n|^2 <= f 范数的平方。证明只需一行：f 与其部分投影之差正交于该投影，故由勾股定理，投影的能量加余项的能量等于 f 的能量——舍去非负的余项便得不等式。

两个推论立即且有用。其一，系数级数 求和 |c_n|^2 收敛（其部分和被范数所界），这迫使 c_n -> 0。其二，等式对每个 f 都成立当且仅当该标准正交系完备——此时贝塞尔不等式升级为帕塞瓦尔等式。所以贝塞尔是永远成立的那一半；完备性才填补缝隙。