傅里叶系数

如果傅里叶级数是用纯音搭建函数的配方，那么傅里叶系数就是各种用量——你倒入每个音多少。频率 n 处的系数衡量函数与该频率波形‘共鸣’的强弱。

提取规则是一种投影：把函数与对应的波作积分。复形式中，c_n = (1/(2*pi)) 在 [-pi, pi] 上 integral of f(x) e^{-i n x} dx。实形式中，a_n = (1/pi) integral of f(x) cos(n x) dx，b_n = (1/pi) integral of f(x) sin(n x) dx。这之所以可行，是因为三角函数构成正交系：cos(n x) 与 cos(m x) 作积分，除非 n = m 否则为零，于是其它每个音都‘抵消’，只剩你正在检测的那个。

系数通过其衰减速率编码光滑性：f 越光滑，c_n 趋于 0 越快。若 f 仅可积，则 c_n -> 0（黎曼-勒贝格引理）；若 f 是 k 次连续可微的周期函数，则 n^k c_n -> 0。反过来，衰减缓慢标志着粗糙——一个跳跃间断会迫使 c_n 仅以 1/n 的速度衰减。