黎曼-勒贝格引理

把任何合理的函数乘以一个极快振荡的波再积分。波的正负峰挨得如此之近，以致在函数近乎常数的每一小段上，贡献几乎抵消。振荡越快，抵消越彻底。黎曼-勒贝格引理把这一直觉化为定理：任何可积函数的高频傅里叶系数必衰减到零。

确切地说，若 f 在某区间上可积（属 L1），则 当 |n| -> infinity 时 integral of f(x) e^{-i n x} dx -> 0，f(x) cos(n x) 与 f(x) sin(n x) 的积分亦然。对实轴上的傅里叶变换，其陈述是 f-hat 是一个在无穷远处消失的连续函数：当 |xi| -> infinity 时 f-hat(xi) -> 0。证明用光滑函数或阶梯函数在 L1 中逼近 f——对它们抵消是显然的——再用 L1 范数控制误差。

关于其局限的诚实告诫。引理只说系数趋于零；它对快慢只字不提，而缓慢衰减完全可能——系数可以慢到像 1/log n 那样趋于 0。特别地，c_n -> 0 并不蕴含傅里叶级数收敛，也不蕴含系数可和。逆命题同样不成立：一个趋于 0 的序列未必是任何 L1 函数的傅里叶系数。所以该引理是成为傅里叶系数序列的必要条件，但远非充分。