傅里叶变换

傅里叶级数把周期函数拆成整数频率处的离散音。但单个不重复的脉冲——整条实轴上的函数——怎么办？当周期拉伸到无穷，分立的频率融合成连续统，系数之和变为积分。傅里叶变换便是其结果：它把函数分解成连续的频率谱，告诉你它含有每种频率多少。

对实轴上的可积函数 f，一种常见约定将其变换定义为 f-hat(xi) = 在全体实数上 integral of f(x) e^{-2*pi*i*x*xi} dx。变量 xi 是频率；f-hat(xi) 是一个复数，其大小是该频率的振幅，其相位是其时序。该变换把困难的分析运算变为简单的代数运算：求导变为乘以 xi，卷积变为普通乘法。

一个根本特征是不确定性原理：一个函数和它的变换不能同时尖锐地集中。x 中的窄峰在频率中铺展成宽带，反之亦然——挤压一个就拉伸另一个。这不是某个例子的怪癖，而是一条定理（例如由海森堡的不等式精确化），它支撑着从量子力学到信号处理的一切。还须注意约定各异：2*pi 的位置和指数中的符号因作者而异，故公式须连同其归一化一并阅读。