普朗谢雷尔定理

普朗谢雷尔定理是傅里叶变换版的能量守恒，也是级数情形帕塞瓦尔等式的连续对应。它说：一个函数的总能量等于其变换的总能量。把信号分解成频率既不创造也不毁灭能量。

确切地说，在约定 f-hat(xi) = integral of f(x) e^{-2*pi*i*x*xi} dx 下，对实轴上每个 L2 函数 f，其变换 f-hat 也属于 L2，且 integral of |f(x)|^2 dx = integral of |f-hat(xi)|^2 dxi。这里藏着一个真正的技术点：f-hat 的定义积分只有当 f 可积时才绝对收敛，而一般的 L2 函数未必可积。故先在好函数（如既可积又平方可积）上定义变换，再借连续性把它扩张到整个 L2，恰以范数保持作为使该扩张良定的工具。

结论是傅里叶变换是希尔伯特空间 L2 上的酉算子——它是无穷维空间的一个旋转，保持一切长度与角度。其逆是逆变换，内积也被保持（极化形式：integral of f 乘 g 的共轭 = integral of f-hat 乘 g-hat 的共轭）。这种酉性是调和分析与量子力学许多内容所倚靠的结构骨架。