傅里叶反演

如果傅里叶变换记录了信号含有每种频率多少，傅里叶反演就把这段录音放回去：它把所有频率分量按正确的振幅和相位加起来，重组出原始信号。值得注意的是没有信息丢失——函数与其频谱互相决定。

在约定 f-hat(xi) = integral of f(x) e^{-2*pi*i*x*xi} dx 下，反演公式为 f(x) = integral of f-hat(xi) e^{+2*pi*i*x*xi} dxi。唯一的改变是指数中的符号。但这一干净的陈述需要假设：当 f 与 f-hat 都可积（且 f 连续）时，它逐点逐字地成立。当积分不绝对收敛时，须将其理解为对称极限或诉诸可和性，正如傅里叶级数那样。

有一处值得标明的微妙之处。在 f 有跳跃的点处，反演积分（理解为主值）返回平均 (f(x+) + f(x-))/2，而非任一单侧值——正是级数的狄利克雷定理的对应。而 L2 意义下的反演（经由普朗谢雷尔）仅在 L2 中把 f 恢复为一个元素，即至多差一个测度为零的集，故‘同一函数’意味着几乎处处相等。